the proof of integrabel

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Problem:
If f(x) is a continous function at $[a,b]$ ,then:
exist F(x), such that:
$\dfrac{dF}{dx} = f(x)$ .

Proof:
反证:假设在 $[a,b]$ 上.f(x)的原函数不存在.
即: $\all F(x),\exists x_0\in[a,b],\exists \epsilon > 0,\all \delta > 0,\exists x\in U(x_0,\delta)\backslash\{x_0\}$ , such that:
$|\frac {F(x) - f(x_0)}{x - x_0} - f(x_0)|\ge \epsilon$
令 $a_0 = a,b_0 = b$ , $(a < b)$
考虑 $[a_0,\frac {a_0 + b_0}{2}]$ , $[\frac {a_0 + b_0}{2}]$ , 先证两区间至少有一者原函数不存在。
反证，设两区间对于 $f(x)$ 的原函数均可求，那么不妨设：
两段区间所对应的函数分别为: $F_1(x)$ , $F_2(x)$ .
为今后方便起见，我们把 $F_1(x),F_2(x)$ 的定义域以如下方式拓展到 $( - \infty, + \infty)$
在 $( - \infty,a_0)$ ,有 $F_1(x) - F_1(a_0) = f(a_0)(x - a)$
在 $(\frac {a_0 + b_0}{2}, + \infty)$ ,有 $F_1(x) - F_1(\frac {a_0 + b_0}{2}) = f(\frac {a_0 + b_0}{2})(x - \frac {a_0 + b_0}{2})$
在 $( - \infty,\frac {a_0 + b_0}{2})$ ,有 $F_2(x) - F_2(\frac {a_0 + b_0}{2}) = f(\frac {a_0 + b_0}{2})(x - \frac {a_0 + b_0}{2})$
在 $(b_0, + \infty)$ ,有 $F_2(x) - F_2(b_0) = f(b_0)(x - b_0)$
这样，我们就把 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 同时扩展定义到了 $\mathbb{R}$ 上.
此时考虑
$F(x) = F_1(x)$ .................................................................................. $(x\le \frac {a_0 + b_0}{2})$
$F(x) = F_2(x) + F_1(\frac {a_0 + b_0}{2}) - F_2(\frac {a_0 + b_0}{2})$ ........... $(x\ge \frac {a_0 + b_0}{2})$
下证: $F(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导.
由于我们知 $F_1(x)$ , $F_2(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续且可导.
故 $F(x)$ 在 $\mathbb{R}\backslash\{\frac {a_0 + b_0}{2}\}$ 上连续且可导.
而在 $x = \frac {a_0 + b_0}{2}$ :
$\lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ + }F(x) = \lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ + }F_2(x) + F_1(\frac {a_0 + ...$
$\lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ - }F(x) = \lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ - }F_1(x) = F_1(\frac {a_0 + ...$
$\lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ + }F(x) = \lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ - }F(x) = F(\frac {a_0 + b_0}...$
即 $F(x)$ 在 $x = \frac {a_0 + b_0}{2}$ 连续.
$\lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ + }\frac {F(x) - F(\frac {a_0 + b_0}{2})}{x - \frac {a_0 + b_0}{2}} \\ = \lim_{x\r...$

$\lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ - }\frac {F(x) - F(\frac {a_0 + b_0}{2})}{x - \frac {a_0 + b_0}{2}} \\ = \lim_{x\r...$
由 $f(x)$ 连续知 $f(\frac {a_0 + b_0}{2})$ 有限.
故 $\lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ - }F'(x) = \lim_{x\rightarrow (\frac {a_0 + b_0}{2})^ +} F'(x)$
即 $F(x)$ 在 $x = \frac {a_0 + b_0}{2}$ 处亦可导.
于是构造出一函数 $F(x)$ 使得假设不成立。
于是两个区间至少有一个区间的原函数不可求。
记该区间为 $[a_1,b_1]$
同理，把 $[a_1,b_1]$ 二等分,亦可找到 $[a_2,b_2]$
....
于是我们构造出一系列的闭区间套 $I_1\supset I_2 \supset...\supset I_n \supset...$ ，其中 $I_n = [a_n,b_n]$
由闭区间套定理，有且仅有一点 $\xi = \cap_{n = 1}^\infty I_n$
此时，依据假设，该点性质如下:
即 $f(x)$ 在 $x = \xi$ 连续，但对于 $\all F(x)$ , $\frac {dF}{dx} = f(x)$ 在 $x = \xi$ 均不成立。
而上句在 $F(x) = f(\xi)x$ 时显然不成立。
说明假设矛盾，不成立。
证明完毕

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